☛ Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé

Dans un repère de l'espace, soit \(d\)  la droite de représentation paramétrique  \(\begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

Soit  \(P\)  le plan d'équation cartésienne  \(-2x+y+2z+15=0\) .

1. Justifier que \(d\) et \(P\) sont sécants.

2. Déterminer les coordonnées du point \(\text I\) d'intersection de \(d\) et de \(P\) .

Solution
1.  \(d\)  est dirigée par  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -5\\-6\\0\\ \end{pmatrix}\) ;  \(P\)  a pour vecteur normal  \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2\\1\\2\\ \end{pmatrix}\) .
\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}=(-5)\times (-2)+(-6)\times 1+0\times 2=10-6+0=4\neq 0\) , donc \(d\) et \(P\) sont sécants.

2. On cherche  \(\text I(x~;~y~;~z)\)  tel que  \(\begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ -2x+y+2z+15=0 \\\end{cases}\) .

Alors  \(\begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ -2x+y+2z+15=0 \\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 6-5t \\ y = 1-6t \\ z = 2 \\ -2(6-5t)+1-6t+2\times 2+15=0 \quad (*)\\\end{cases}\)

\((*) \Leftrightarrow4t+8=0 \Leftrightarrow t=-2\) .

D'où  \(\begin{cases} x = 6-5t=6-5\times (-2)=16 \\ y = 1-6t=1-6\times (-2)=13 \\ z = 2 \\ t=-2 \\ \end{cases}\) .

Conclusion :  \(\text I(16~;~13~;~2)\) .